Diskussion:Logistische Gleichung

Verhalten repräsentativ für Übergang ins Chaos

Das ist nicht ganz richtig. Der Weg ins Chaos bei der logistischen Abbildung ist einer von vier möglichen:

1.) Landau Szenario

2.) Ruelle-Takens-Newhouse Route

3.) Periodenverdopplungskaskade

4.) Intermittenz

Die logistische Abbildung ist natürlich das Paradebeispiel für Punkt 3.

Die anderen Möglichkeiten gibt es aber auch, siehe zum Beispiel das Taylor-Cuette-Experiment für 2.) oder die dritte Iterierte der logistischen Abbildung für 4.) Das sollte wohl erwähnt/ geändert werden, der Vollständigkeit halber, oder nicht?

Noch was zu übersetzen?

Auf der Artikelseite(!) fand sich der Hinweis: (Rest ist noch aus dem englischen Artikel zu übersetzen.) Ist das noch aktuell? - Habs erstmal entfernt. -- Peter Steinberg 00:27, 12. Jun 2005 (CEST)

Verhalten in Abhängigkeit von r

Nun hab ich versucht, einiges für diese Seite zu tun, insbesondere bei der Verlinkung und beim Thema "demographisches Modell", aber jetzt müssten mal Chaos-Theoretiker ran, denn ich kanns mit dem mir möglichen Aufwand nicht rausfinden:

• Was sollen der zweite und der dritte Spiegelstrich, oder: wie unterscheidet sich das Verhalten zwischen 1 und 2 von dem zwischen 2 und 3? "Grenzwert" und "Häufungspunkt" ist dasselbe, wenn es nur einen Hp gibt! Meine Vermutung: Für r<2 erfolgt die Annäherung an den Grenzwert monoton, für r>2 (r≥2??) oszillierend. Ist das richtig?

Offensichtlich ja, hab ich inzwischen geklärt und geändert. -- Peter Steinberg 00:31, 15. Jun 2005 (CEST)

• r>3,54: Da steht: "das Verhältnis zwei aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstanten...". "Nähert" ist von mir. Vorher stand hat "erreicht". Habe ich recht? - Wahrscheinlich.
  Was aber ist "das Verhältnis zwei aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle"? Wohl das Verhältnis ihrer Längen? Das Zahlenverhältnis ihrer Anfangspunkte kann's nach Lage der Dinge kaum sein? Was ein "Bifurkationsintervall" ist, ist eigentlich auch noch nicht wirklich erklärt.
  Wenn mir jemand erklärt, wie der Sachverhalt ist, will ich gerne versuchen, ihn enzyklopädiegerecht zu formulieren.

Da hab ich mich inzwischen auch entschieden, es in diesem Sinne zu ändern. -- Peter Steinberg 00:31, 15. Jun 2005 (CEST)

• zwischen 3,57 und 4: Sehr unverständlich: Was sind "die meisten" von kontunierlich vielen r-Werten? Was gilt bei "r = 3,82" (Bei genau diesem Wert? - ich vermute: nichts Besonderes!). "erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte für höhere r" - Auch hier hab ich eine Vermutung, was da gemeint sein könnte. Wenn ichs präzise wüsste, könnte ich es vielleicht verständlicher formulieren.
• r größer 4 : Bedeutet "fast alle" hier, wie sonst in der Mathematik, "alle bis auf endlich viele"? Was sonst?

Hilfe! -- Peter Steinberg 01:05, 12. Jun 2005 (CEST)

Logistische Gleichung 1837 oder 1838 eingeführt

In zahlreichen Quellen (u.a. Universitätsskripte) wird entweder 1837 oder 1838 als erste Erwähnung der logistischen Gleichung genannt. Meiner Meinung nach spricht mehr für 1838, aus der die erste Veröffentlichung von Verhulst

VERHULST, P.F.(1838): Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Corr. Math. Phys. 10, 113-121

stammt. Außerdem findet sich in

http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf

folgendes:

"Verhulst published his suggestions between 1838 and 1847 in three papers. The first is a brief note in the Correspondance Mathematique et Physique, edited by Quetelet, in 1838. It contains the essence of the argument in four small pages, followed by a demonstration that the curve agrees very well with the actual course of the population of France, Belgium, Essex and Russia for periods up to 1833; Verhulst explains that he did his research a couple of years before, that he did not have the time for an update and that he publishes this note only at the insistence of Quetelet. He does not say how he fitted the curves. The second paper, in the Proceedings of the Belgian Royal Academy of 1845, is a much fuller account of the function and its properties. Here Verhulst names it the logistic, without further explanation..."

--Christoph Demmer 20:37, 5. Apr 2006 (CEST)

rein formell: Differenz

"die Individuenzahl im Folgejahr ist hier proportional zur Differenz zwischen ihrer aktuellen Größe und einer theoretischen Maximalgröße." - müsste es nicht "Differenz zwischen einer theoretischen Maximalgröße und ihrer aktuellen Größe" heißen? --84.148.127.156 13:16, 30. Dez. 2006 (CET)

An dieser Stelle ist die aktuelle Formulierung sogar falsch. Angenommen, die Population im Vorjahr ist sehr klein, etwa 1/1000 der Maximalgröße. Dann wäre die Differenz zur Maximalgröße groß und im Folgejahr springt die Population nach oben. Das kann es ja wohl nicht sein. Die Formel (G-X_n)*q_v gibt vielmehr an, um welchen Faktor die Vorjahrespopulation vermindert wird. Dann wird auch einsichtig, warum Vermehrung und Absterben zusammen die logistische Formel ergeben. Ich ändere den Text entsprechend.---<(kmk)>- 11:40, 6. Mär. 2008 (CET)

Die Beschreibung der Maximalgröße G ist auch nicht sehr glücklich: "G ist dabei die Populationsgröße, bei der alle Individuen in der nächsten Zeitperiode verhungern würden." Wäre vielleicht "die Populationsgröße, bei der alle Individuen der nächsten Generation verhungern würden" richtiger?

Noch anschaulicher formuliert: "Die Populationsgröße, bei der alle Individuen verhungern und es keine nächste Generation gibt."---<(kmk)>- 11:40, 6. Mär. 2008 (CET)

In die gleiche Kerbe haut die folgende Kritik. Sprachlich sehr unglücklich ist es qv als Verhungernrate darzustellen. Warum sollte die Zahl der Verhungernden mit dem Nahrungsangebot anwachsen? Tatsächlich ist so etwas wie eine Überlebensrate gemeint, sagen wir qs (s: survival; ü ist irgendwie unschön). Die erklärenden Sätze wären geeignet anzupassen. (nicht signierter Beitrag von 195.124.31.220 (Diskussion) 12:18, 20. Dez. 2013 (CET))

i.e. im Abschnitt "Das demographische Modell"

Wenn ichs richtig mitbekommen hab, ist der Artikel aus dem englischen Uebersetzt. Sollte man das i.e. dann nicht auch uebersetzten? Mir ist das gut bekannt aus englischen Texten, es in deutschen gelesen zu haben, daran kann ich mich jedoch nicht erinnern. Wollte aber erstmal nachfragen - vielleicht ist es ja auch Absicht. Wadi 07:06, 12. Okt. 2007 (CEST)

diese Gleichung taucht bei Verhulst nicht auf

In der zitierten Arbeit von Verhulst steht nicht die im Artikel beschriebene Differenzengleichung, sondern die Differentialgleichung

${\frac {dp}{dt}}=mp-\phi (p),$

wobei $m$ eine Konstante ist und $p$ die Populationsgröße bedeutet. Verhulst schreibt einiges zur Form der Funktion $\phi (p)$, und wieso er die Gestalt $\phi (p)=np^{2}$ mit einer geeigneten Konstanten $n$ bevorzugt: nämlich weil dies am besten zu dem ihm vorliegenden statistischen Material passt. Bei dem ihm Artikel beschriebenen - vermutlich nicht von Verhulst stammenden - demographischen Modell wäre eine Quellenangabe gut. --Wickie1681 10:17, 7. Jul. 2008 (CEST)

Graphische Darstellung

Ich kann nicht sehn, wieso das eine Bild extra darunter dargestellt wird. Offenbar soll dort der Zusammenhang dargestellt werdem. Vllt. wäre es besser den irgendwo zu beschreiben? Weil so wie das Bild da ist hat es irgendwie wenig Informationswert... --WissensDürster 16:32, 8. Jul. 2009 (CEST)

Welches Bild meist du denn? Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg? Oder was? --Georg-Johann 17:38, 8. Jul. 2009 (CEST)

Scilab-Code zur Berechnung des Feigenbaum-Diagramms

x=ones(1,500); //Vektor für das Ergebnis zu jedem Parameter (Wachstumsfaktor)
k = [(-2:0.01:4)]; // Wachstumsfaktor von -2 bis 4 Schrittweite 0.01, besser wäre eine kleinere Schrittweite, aber entsprechend erhöht sich die Rechenzeit.
x(1) = 0.7; // Anfangswert = 0.7

for m = 1:length(k) // length(k) Berechnungen, eine für jeden Wachstumsfaktorschritt

for n = 2:500 // 500 Iterationen pro Wachstumsfaktorschritt
x(n) = k(m) * x(n-1)*(1-x(n-1)); //Logistische Gleichung
//mprintf("%f \n" ,x(n));
end
y = ones(1,100); //Vektor für den Wachstumsfaktor, wird für die Funktion plot2d benötigt
y = y * k(m);

for i = 401:500
x_n(i-400 ) = x(i); // Vektor für die letzten hundert Iterationsschritte, die in das Diagramm geschrieben werden
end


a=gca(); //get current axes
a.mark_size_unit = "point"; // setzt mark_size_unit auf point
a.mark_size=1; // mark_size = 1
plot2d(y,x_n, style=-4); //plot, style = -4: nur Marker 4 ohne Linie 
end

--Basti Schneider 14:50, 30. Jan. 2012 (CET)

Scilab-Code zur Berechnung der Zeitentwicklung der logistischen Gleichung für verschiedene r-Werte

x = zeros(4,101);

y = linspace(0,100,101);


r = zeros(1,4);

r(1) = 1.7;

r(2) = 2.8;

r(3) = 3.1;

r(4) = 3.7;



for m = 1:4

  x(m,1) = 0.11;


for n = 1:100
    
    x(m,n+1) = r(m)*x(m,n)- r(m) *(x(m,n)*x(m,n));
    
end

end



graphic = 0;
scf(0);
clf(0);   
   
  
   subplot(2,2,1);
   plot (y ,x(1,:));  
   set(gca(),"grid",[1 1]);   
   xtitle("r = " + string(r(1)), "n", "x(n)");
   
   subplot(2,2,2);
   plot (y ,x(2,:));  
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("r = " + string(r(2)), "n", "x(n)");
   
   subplot(2,2,3);
   plot (y ,x(3,:));  
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("r = " + string(r(3)), "n", "x(n)");
   
   subplot(2,2,4);
   plot (y ,x(4,:));  
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("r = " + string(r(4)), "n/[steps]", "x(n)");

--Basti Schneider (Diskussion) 17:52, 25. Sep. 2012 (CEST)

Abschnitt "Demographisches Modell", Faktor K

Mir ist unklar, woher die Variablen K in den in den letzten Zeilen des Abschnitts kommt:

Wenn man die vorangehenden Umformungen ausführt, gibt es kein K, bzw. K ist Eins. Wenn man die Gleichung mit großen Xen statt mit kleinen schreibt, dann wäre K dasselbe wie G. Was ist denn nun gemeint, oder bedeutet K noch etwas ganz anderes?

--93.133.238.68 11:32, 9. Dez. 2012 (CET)

Sehe ich ganz genauso. K gehört da nicht hin. (nicht signierter Beitrag von 195.124.31.220 (Diskussion) 12:18, 20. Dez. 2013 (CET))

Scilab Code für Zeitreihen und dazugehörendes Fourierspektrum (FFT)

mode(0);
M = 1001 //number of iterations
x = zeros(4,M);
 
y = linspace(0,M-1,M);
t = linspace(0,M-1,M);

 
r = zeros(1,4);
 
//current growth factors 
 
r(1) = 1.4;
 
r(2) = 2.7;
 
r(3) = 3.1;
 
r(4) = 4.0;
 
 
 
for m = 1:4
 
  x(m,1) = 0.11;
 
 
for n = 1:(M-1)
 
    x(m,n+1) = r(m)*x(m,n)- r(m) *(x(m,n)*x(m,n));
    
 
end

 
end

//detrend by subtracting mean values; calculate means

x_1 = mean(x(1,:));
x_2 = geomean(x(2,:));
x_3 = geomean(x(3,:));
x_4 = mean(x(4,:));

//disp offset (means)

disp(x_1);
disp(x_2);
disp(x_3);
disp(x_4);



for k = 1:(M-1)

x(1,(k)) = x(1,(k)) - x_1;
x(2,(k)) = x(2,(k)) - x_2;
x(3,(k)) = x(3,(k)) - x_3;
x(4,(k)) = x(4,(k)) - x_4;


end


t=t';


//Fast Fourier  center frequency ~34 [units] Hz?

fft1 = fft(x(1,:));
fft2 = fft(x(2,:));
fft3 = fft(x(3,:));
fft4 = fft(x(4,:));

// center frequency of FFT can be shifted by changing F
F = 400;
N = size(t,'*');
N=N+F;
f = 100*(0:(N/2))/N;
n1 = size(f,'*');
 
graphic = 0;
scf(0);
clf(0);   
 
 
   subplot(4,2,1);
   plot (y ,x(1,:));  
      set(gca(),"grid",[1 1]);   
   xtitle("r = " + string(r(1)), "n", "x(n)");
 
   subplot(4,2,2);
   plot (f ,abs(fft1(1:n1)));  
   //a=get("current_axes");
   //a.data_bounds=[0,0;50,10];
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("", "frequency", "amplitude");
 
   subplot(4,2,3);
   plot (y,x(2,:)) 
   set(gca(),"grid",[1 1]); 
   xtitle ("r = " + string(r(2)), "n", "x(n)");
 
   subplot(4,2,4);
   plot (f ,abs(fft2(1:n1)));  
   //a=get("current_axes");
   //a.data_bounds=[0,0;50,10];
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("", "frequency", "amplitude");
   
    subplot(4,2,5);
    plot (y,x(3,:));
    set(gca(),"grid",[1 1]); 
    xtitle("r = " + string(r(3)), "n", "x(n)");
 
   subplot(4,2,6);
   plot (f ,abs(fft3(1:n1))); 
   //a=get("current_axes");
   //a.data_bounds=[0,0;50,500]; 
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   xtitle("", "frequency", "amplitude");


   subplot(4,2,7);
   plot (y, x(4,:)); 
   set(gca(),"grid",[1 1]); 
   xtitle("r = " + string(r(4)), "n", "x(n)");
 
   subplot(4,2,8);
   plot (f ,abs(fft4(1:n1)));  
   set(gca(),"grid",[1 1]);
   //a=get("current_axes");
   //a.data_bounds=[0,0;50,500];
   xtitle("", "frequency", "amplitude");

--Ralfonso23 (Diskussion) 09:12, 17. Nov. 2013 (CET)

Häufungspunkte

Die Verwendung des Begriffs Häufungspunkt beim Übergang zum Chaos ist nicht korrekt. Im chaotischen Fall hat die Folge unendlich viele Häufungspunkte, für c=4 und die "meisten" Anfangswerte ist sogar jedes $x\in [0,1]$ Häufungspunkt. Hier müsste entsprechend zwischen (stabilen und instabilen) periodischen Orbits und Häufungspunkten unterschieden werden. --Pwjg (Diskussion) 10:35, 29. Nov. 2014 (CET)

Fall x(n)=K

d.h. x soll die Kapazitätsgrenze erreicht haben, also x(n) =x_max =K). Nach der Formel würde dann aber x(n+1)=0 ! Wie kann das sein? --46.114.185.132 02:20, 31. Jan. 2015 (CET)

naja, aber das entspricht doch der "Idee" dieser Gleichung. Rein mathematisch ist das eindeutig. Und im Sinne einer Populationsbetrachtung bedeutet dieser Fall einfach, dass das Biotop seine Kapazitätsgrenze erreicht hat und anschließend alle Individuen "verhungern".

Der Fall x_Null = 1-(1/r), also die Startpopulation = 1-(1/r)

Rein analytisch tritt für diesen Fall für alle r kein chaotisches Verhalten auf, was die Folge von x_n betrifft. Nun habe ich mal in Excel etwas rumgespielt und festgestellt, dass sehr wohl für einige r auch in diesem Fall chaotisches Verhalten auftritt bzw. es mehrere Häufungspunkte gibt! Dafür braucht es ca. 50..100 Iterationen. Probiert es selbst. Das liegt an der begrenzten Genauigkeit einer numerischen Berechnung oder haben wir da was übersehen? --2A02:810A:8140:3318:C1A3:4261:96C6:A2D4 11:58, 29. Jan. 2021 (CET)